특성함수(Characteristic function) [확률]

불규칙 변수 X 의 특성함수는 아래와 같이 정의 한다.

이 적분식은 어떠한 PDF에 대해서도 절대적으로 수렴하며 다음과 같은 특징으로 인하여 여러 다양한 영역에서 매우 유용하게 적용된다.

1. 불규칙 변수의 m차 모멘트는 그 특성 함수를 m 번 미분함으로써 구할 수 있다.

1. 경우에 따라서는 불규칙 변수의 PDF를 구하기가 매우 어렵거나 불가능할 때도 있는데, 이럴 경우 특성 함수는 상대적으로 구하기가 훨씬 용이할 수 있다.
2. 불규칙 변수의 PDF와 특성함수는 서로 푸리에 변환 관계에 있다.
3. 불규칙 변수의 특성 함수에 대한 맥클로린 급수는 불규칙 변수의 모멘트들로 표현할 수 있다.

Exponential R.V. 에 대한 특성 함수를 구해 보자

Exponential R.V.의 PDF 는 아래 식과 같으며

여기서 r > 0, x ≥ 0 이다.

1차 모멘텀은 평균이 된다.

2차 모멘텀은

3차 모멘텀은

따라서 분산은 다음과 같다.