아래 포스팅에서 Wolfram-Alpha 라는 사이트를 통해 인수분해나 그래프 그리는 방법등에 대해 알아봤는데요~



오늘은 추가적으로 미분, 적분을 편하게 도와주는 사이트 들을 조금 소개 드리려 합니다.

  • 적분 사이트로는 아래 주소의 사이트를 발견 했는데


간단하게 다음과 같이 수식을 입력하고



Go 버튼을 누르면 이렇게 결과 수식이 나오더군요.


위 사이트는 정말 수학 공부하기도 좋을것 같은게 수식 밑에 있는 Show steps 버튼을 누르면 다음과 같이 수식 전개 과정도 나옵니다.



마지막에는 그래프도 나오고 아래 포스팅에서 소개 드렸던 maxima 라는 툴과의 비교 그래프도 그려 주므로 더욱 믿을 수 있는 것 같네요.


  • 미분 사이트로는 아래 주소의 사이트가 있습니다.


위 적분 사이트와 비슷한거 보면 같은데서 만든것 같네요.

역시 마찮가지로 수식을 입력한 후에 Go 버튼만 누르면 결과 수식이 나오고~


Show steps 버튼을 누르면 수식 전개 과정도 나옵니다..... 정말 좋네요.



위에 두 사이트는 export 버튼을 누르면 아래 그림과 같이 LaTeX, Maxima, Online calculators 수식으로도 export 할 수 있게 해 줍니다.


요즘 수포자 많다고 하는데 ..... 사실 요즘은 컴퓨터와 인터넷만 있으면 수학 공부하기 정말 좋은 시대라는 생각이 듭니다.

요즘은 컴퓨터도 좋아지고~ 좋은 프로그램들도 많아져서 수학 공부하기 굉장히 좋은 시절이라고 생각이 됩니다.

 

중고딩 시절에는 공식 하나하나 다 외워서 시험보는데… 사실 나이먹고 공식을 외우는 사람들은 수학 관련 일을 하는 분들 밖에 없을 것 같네요.

 

보통 대학 이상에서는 CAS 툴을 많이 사용합니다.

 

CAS 는 Computer algebra system 을 말하는데~ 쉽게 말해 컴퓨터로 수학을 푸는걸 말합니다.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system

 

뭐 자잘한 공식 외울 필요 없이 명령어 띡 치면 툭하고 식이 풀어지고 하는거죠.

 

 

물론 이런 툴이 있다고 해서 기본 원리 조차도 몰라도 된다는 건 아닙니다. 기본 원리를 알아야 저런 CAS 툴도 제대로 사용 할 수 있는 거죠.

 

이런 CAS 툴은 다양하게 있는데~ 그 목록은 아래 주소에서 확인하기 바랍니다.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_systems

 

상용툴로는 울 나라에서도 많이 알려진 Mathematica, Maple, MATLAB (Symbolic Math Toolbox) 부터~ 프리웨어로는 Sage, Maxima 같은 툴이 있습니다.

 

설치 또는 다운로드 하는 프로그램이 아닌 브라우져에서도 CAS 기능을 사용할 수 있는데요. 아래 포스팅에서 소개했던 wolframalpha 도 있습니다.

 

2013/01/05 - [컴퓨터일반] - Wolfram-Alpha 재밌네요~


2014/04/01 - [수학] - Wolframalpha 로 인수분해 쉽게 하기


2013/10/20 - [programming language/MATLAB] - MATLAB Batman Equation

 

요즘은 지오지브라(Geogebra) 라는 툴도 좀 사용해 보고 있는데 Geogebra 에도 CAS 기능이 있더군요.

 

CAS 툴 중에 프리웨어인 sage 는 윈도우의 경우 virtualbox 의 형태로 설치해야 하고 리눅스에서는 그냥 다운로드 받으면 설치가 되더군요. Maxima 는 윈도우나 리눅스에서 설치가 간편해서 종종 사용하는데…

 

아래 주소에 MAXIMA 강좌 동영상이 있더군요. 영어로 된 자료이긴 한데 그냥 따라 해보면 되는거라 볼만 합니다. 기본적인 사용 방법들을 쉽게 배울 수 있어서 좋더군요.

 

https://www.youtube.com/playlist?list=PLEDEE2F7C6750729F

 

MAXIMA 로 수학을 즐겨 보시길~

다음과 같이 포물선의 초점이 p 이고 p로부터 음의 방향으로 5만큼 떨어진 지점을 A 라 하고,

 

점 A 를 지나는 기울기 1인 직선이 만나는 두 지점 B, C를 구해보자.

 

 

포물선의 초점 F =(p , 0) 이고 A= (p-5,0) 이므로

 

다음과 같이 포물선과 직선의 방정식이 나온다.

 

위 두 방정식을 연립하면 점 B, 점 C 를 구할 수 있다.

 

MAXIMA 에서는 solve 라는 명령어로 해를 구할 수 있다.

 

 

해는 다음과 같다.

 

 

위 해르 보면 matrix 의 구성되어 나오므로 각 해는 다음과 같이 매트릭스의 인자를 접근 하는 형태로 접근 할 수 있다.

 

c[1][1] 이라고 하면 위 결과의 1행 1열의 인자 즉 다음 값에 대해 접근할 수 있는 것이다.

 

 

그렇다면 등호를 기준으로 왼쪽 또는 오른족의 인자에 대해서는 어떻게 접근해야 할까. 이는 함수를 사용해서 접근 할 수 있다.

 

https://www.ma.utexas.edu/maxima/maxima_20.html

 

등호를 기준으로 오른쪽 부분은 rhs(), 왼쪽은 lhs() 라는 함수로 접근한다.

 

Px : rhs(P_x); 라고 하면 라는 값이 나오고 Pd : lhs(P_x); 라고 하면 x 가 나오게 된다.

 

향후에 또 참조하기 위해 테스트 해본 MAXIMA 와 지오지브라 파일을 첨부한다.

 

포물선.ggb


포물선.wxm


네이버 지식인 같은 데는 보다 보면 인수분해를 해달라는 질문들이 굉장히 많더군요.

 

아래 포스팅에서 간단하게 wolframalpha 에 대새 소개해 드린적이 있는데요~

 

Wolframalpha를 사용하면 인수분해도 무지 쉽게 할 수 있습니다.

 

그냥 wolframalpha의 검색창에 식만 써주면 되거덩여~

 

x^2+y^2-4xy-x^2y^2-1 라는 식을 인수분해 해 볼까요~

 

wolframalpha의 검색창에 식을 써 주고 엔터를 치면~

 

아래와 같이 Alternate forms 에 인수분해 결과가 나옵니다.

 

무지 간단하죠~ ㅋㅋㅋㅋ

 

X에 대해 푼 해도 나오고~ 3D 형태의 그래프도 나오고 등고선 형태의 Contour plot 도 나오는 군요~

 

개인적으로 이런 툴들 보면 요즘 세상은 참….. 수학 공부하기 좋은 세상이구나 라는 생각이 많이 듭니다.

지오지브라에서 극좌표 그래프 그리는 방법에 대해 설명 드리려 합니다.

 

지오지브라에서 극좌표 그리는 방법은 아래 주소글을 참조했습니다.

 

http://web.psjaisd.us/auston.cron/ABCronPortal/GeoGebraMenu/GeogebraFiles/studentConstructions/polarGraphs/constructPolarGraph04.html


위 주소에 있는 예제 함수들 중에 아래 주식의 Rose Curves를 하나 그려 볼까 합니다.

r(x) = a sin(b x), vary a and b by using a sliders, x is angle

 

지오지브라는 직교 좌표계이니깐, 극좌표를 직교좌표계로 변환하는 방법만 알면 비교적 쉽게 그릴수가 있더군요.

  

r(x) 를 그리는 방법은 다음과 같습니다.


1. 변수 a, b 를 슬라이더로 정의 한다.


2. 극좌표계 식 r(x)를 정의 한다. r(x) 그래프를 보이지 않게 한다.


3. 극좌표계를 직교 좌표계로 변환하기 위해 x 축은 cos(t)*r(t), y 축은 sin(t)*r(t) 로 하여 curve 를 그려준다. 여기서 변수 t 는 각도를 의미함


 

Curve[r(t)*cos(t), r(t)*sin(t), t, 0, 16 pi]


위 수식에서 세번째 인자 t 는 변화하는 각도를 의미 0, 16 pi 는 각도가 16 pi 까지 변화하는 것을 의미

 

그려 보니 다음과 같은 결과가 나오더군요.


 

그럼 한번 그려볼까요~




  1. dedd 2014.07.19 18:50

    r(x) a'sin(bx)라고 하면 알수없는 명령:r 이라고 뜨는데......

    • 남성 2014.07.19 20:34 신고

      보시다 시피 r(x)= a*sin(b*x) 라고 정의 한겁니다.

  2. dedd 2014.07.20 23:51

    감사합니다~

 

너무 자주 잊어 버리는 삼각함수 공식들

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

얼마전 지식인을 보다가 음함수 미분에 대한 질문들을 보고, 고등학교 과정에 이런게 있었나? 하는 생각으로 간만에 정석책을 펼쳐봤다.

다음 내용은 정석 책에 있는 개념이다.

 

그럼 간단한 다음 예에 대한 음함수의 미분 과정을 알아보자.

             (1)

식 (1)에 대하여 음함수의 미분을 한 결과는 다음과 같다.

          (2)

음함수 미분 이라는것에 대하여 MUPAD로 어케 하는지를 알아보자, 음함수 미분이라는게 결국에는 y 를 f(x)의 형태로 놓고 계산을 한후에 dy/dx 변경해 주면 되는 것이다.

이제부터 MUPAD 로 위 음함수 미분을 실행해 보자

 g := x^3-3*x*y+y^3-3=0

 y=f(x) 치환을 한다.

 g2 := subs(g,y=f(x))

 그리고 이에 대하여 x 편미분한다.

 w := diff(g2,x)

 그럼 위와 같은식이 만들어지는데 여기서

골뱅이~ 미분이 들어가 있는 부분을 변수 M 으로 치환 해보자

이렇게 하는건 이후에 solve 풀어주기 위한 것이다.

 p := subs(w,diff(f(x),x)=M)

 이제 solve 해서 M 값을 구해 보자

t := solve(p, M, IgnoreAnalyticConstraints)[1]

 M 값을 구해 봤더니 처음 우리가 치환한 f(x) 형태로 구해 졌다.

그럼 이제 f(x) 다시 y 치환하면 우리가 원하는 음함수 미분의 값이 구해진다.

 Simplify(subs(t, f(x)=y))

불규칙 변수 X 의 특성함수는 아래와 같이 정의 한다.

이 적분식은 어떠한 PDF에 대해서도 절대적으로 수렴하며 다음과 같은 특징으로 인하여 여러 다양한 영역에서 매우 유용하게 적용된다.

  1. 불규칙 변수의 m차 모멘트는 그 특성 함수를 m 번 미분함으로써 구할 수 있다.

  1. 경우에 따라서는 불규칙 변수의 PDF를 구하기가 매우 어렵거나 불가능할 때도 있는데, 이럴 경우 특성 함수는 상대적으로 구하기가 훨씬 용이할 수 있다.
  2. 불규칙 변수의 PDF와 특성함수는 서로 푸리에 변환 관계에 있다.
  3. 불규칙 변수의 특성 함수에 대한 맥클로린 급수는 불규칙 변수의 모멘트들로 표현할 수 있다.

Exponential R.V. 에 대한 특성 함수를 구해 보자

Exponential R.V.의 PDF 는 아래 식과 같으며

여기서 r > 0, x 0 이다.

1차 모멘텀은 평균이 된다.

2차 모멘텀은

3차 모멘텀은

따라서 분산은 다음과 같다.

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Probability generating function  (0) 2009.12.30
Y=g(X) 인 경우의 R.V.  (0) 2009.12.30
헤론의 공식  (0) 2009.12.30

특성함수의 공식은 다음과 같다.

이는 다음 푸리에 역 변환 공식과 유사함을 알 수 있다.

따라서 특성 함수 공식은 다음과 같은 공식이 성립된다.

즉, 임의의 R.V.의 특성 함수는 그 R.V. 에 대한 인버스 푸리에 트랜스폼에 를 곱한 결과가 된다.

가우시안 R.V.의 PDF 는 다음과 같다.

1차 모멘텀

E[X] = m

2차 모멘텀

3차 모멘텀

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포아송 분포의 pmf : , k=0,1,2,3,… and a >0

포아송 분포의 Probability generating function 은 다음과 같다.

이에 대한 1차 미분은

2차 미분은

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Y=g(X) 인 경우의 random variable Y 의 PDF 는 어떻게 되는지에 대하여 알아보고자 한다.

확률 이론에 의하여

Y=X2인 경우의 Y 에 대한 PDF 를 알아보자

위 식의 해는 다음과 같이 2개임을 알 수 있음

Y=cos(X)이며 X 가 uniform R.V. 인 경우의 Y 에 대한 PDF 를 알아보자

의 CDF는 다음과 같다.

 

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삼각형의 세 변의 길이가 각각 a,b,c 라 할 때

t=(a+b+c)/2

삼각형의 넓이

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X와 Y가 서로 독립이며, 평균이 0, 분산이 인 가우시안 불규칙 변수일 때, Z 의 PDF 를 구해 보자




Z의 cdf 를 구하려면 적분을 해야는데 적분식은 다음과 같이 된다.

……….. (1)

여기서 으로 정의되는 원의 내부영역이다

계산을 용이하게 하기위해 극좌표 변환을 하면 이며

로 적분 구간은 로 나타낼 수 있다.

식 (1)을 정리해보면

        ……………………………….(2)

식 (2)의 가 바로 레일레이 PDF 이당. 무선 통신 채널을 비롯한 매우 다양한 분야에서 이용되는 PDF 이므로 꼭 알아 두는게 좋겟당


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