아래 포스팅에서도 소개를 했었지만 저는 꽤 오랜 기간 동안… 대략 한 10년도 넘게 ㅋㅋㅋㅋ 네이버 지식인에서 답변을 하고 있습니다. 물론 생업에 치여서 꾸준히 못하는 경우도 많았지만 생각날 때마다 들어가서 답변을 해 보고 있습니다. 제가 관심 있는 MATLAB, 프로그램, 수학 등등에 대한 답변을 주로 하고 있고 답변을 할 때는 그래도 성심 성의껏 하려고 노력하는 편입니다.

https://iamaman.tistory.com/2860

위 포스팅을 보니까 그때 당시에는 지존이었는데 지금은 초인 등급입니다. 이제 다음 단계는 식물신으로 넘어가게 되고~ 드디어 저도 신계에 입성을 하게 되네요. 그런데 신계에 입성을 하는 것은 조금 오래 걸릴 것 같습니다. 네이버 지식인 활동을 정말 잘하시는 분들은 정말 빠르게 대답을 하고 내공도 금방 금방 오르는 거 같은데 저는 그런 재주는 없어서 그냥 천천히 가려고 합니다.

아시는 분은 아시겠지만 네이버 지식인 활동은 경제적인 도움은 되지 않았습니다. 답변을 한다고 해서 돈을 주거나 그런 건 아니기 때문이죠. 해피빈 콩이라는 걸 줘서 기부를 할 수가 있었고 사실 그것만으로도 내가 사회에 보탬이 된다는 생각으로 할만한 가치는 있었다고 생각을 합니다. 그런데 최근에는 네이버 지식인에 “포인트로 감사”가 생겼고 저 역시도 “포인트로 감사” 받기를 해 놓은 상태였습니다.

설마 이런 거에 포인트로 감사를 하는 사람이 있을까 생각을 했는데~ 저도 드디어 포인트로 감사를 통해서 네이버 포인트를 받았습니다. ㅋㅋㅋㅋㅋ

100원이 작은 돈이긴 하지만~ 그게 뭐가 됐던 제가 도움이 됐다라는 생각에 기분은 좋네요 ^^ 아무튼 앞으로도 제가 알고 있는 조그만 것들이 다른 사람들에게 도움이 되었으면 하는 마음으로 계속해서 활동해 보려고 합니다.



아래 포스팅에서 네이버 지식인 활동 증명서에 대해서 소개를 드린 적이 있었고~

https://iamaman.tistory.com/2860

최근에 해피빈 콩을 받는데 맛이 들려서~ 한동안 나름 열심히 지식인에 답변을 단 거 같습니다. 저는 주로 MATLAB 관련된 질문에 대해서 답변을 하고 있고 가끔씩 파이썬이나 수학, 미적분, 회로, Autohotkey 등에 대해서도 답변을 하고 있습니다.

그래도 조금 열심히 하다 보니 이번에 지존에서 초인으로 등업이 됐네요.

기념으로 남겨 놓습니다~

지식인 등급은 아래와 같이 정말 많은데 초인 이후에는 신으로 분류가 되더군요.

지금은 인간계에 있지만 앞으로 신계로 등업할 걸 생각하니 더 열심히 답변을 해 봐야 되겠다는 생각이 듭니다. 물론 지식인 답변은 저 개인적으로 딱히 경제적인 이득은 없습니다. 하지만 해피빈 콩을 받아서 나름 좋은 일에 사용을 할 수 있는 부분이 있어서 괜찮은 것 같습니다.

조그만 재능이나마 누군가에게는 도움이 돼서 다행이네요. 앞으로도 꾸준히 열심히 지식인 활동을 해 봐야 되겠네요~ 오늘도 파이팅입니다.



다음과 같이 포물선의 초점이 p 이고 p로부터 음의 방향으로 5만큼 떨어진 지점을 A 라 하고,

 

점 A 를 지나는 기울기 1인 직선이 만나는 두 지점 B, C를 구해보자.

 

 

포물선의 초점 F =(p , 0) 이고 A= (p-5,0) 이므로

 

다음과 같이 포물선과 직선의 방정식이 나온다.

 

위 두 방정식을 연립하면 점 B, 점 C 를 구할 수 있다.

 

MAXIMA 에서는 solve 라는 명령어로 해를 구할 수 있다.

 

 

해는 다음과 같다.

 

 

위 해르 보면 matrix 의 구성되어 나오므로 각 해는 다음과 같이 매트릭스의 인자를 접근 하는 형태로 접근 할 수 있다.

 

c[1][1] 이라고 하면 위 결과의 1행 1열의 인자 즉 다음 값에 대해 접근할 수 있는 것이다.

 

 

그렇다면 등호를 기준으로 왼쪽 또는 오른족의 인자에 대해서는 어떻게 접근해야 할까. 이는 함수를 사용해서 접근 할 수 있다.

 

https://www.ma.utexas.edu/maxima/maxima_20.html

 

등호를 기준으로 오른쪽 부분은 rhs(), 왼쪽은 lhs() 라는 함수로 접근한다.

 

Px : rhs(P_x); 라고 하면 라는 값이 나오고 Pd : lhs(P_x); 라고 하면 x 가 나오게 된다.

 

향후에 또 참조하기 위해 테스트 해본 MAXIMA 와 지오지브라 파일을 첨부한다.

 

포물선.ggb


포물선.wxm


오늘은 우리가 흔히 알고 있는 정삼각형을 지오지브라를 이용해 작도 해 보겠습니다.


아래 포스팅에 소개해 드렸듯이 현재 저는 지오지브라 3D 버전을 사용하고 있습니다.


2013/11/09 - [유틸] - Geogebra 3D 버전 설치 방법

 

정 삼각형을 작도하는 순서는 다음과 같습니다.

 

1 두 개의 중점을 잡는다.

2 두 개의 중점을 기준으로 원을 그린다.

3 두 원의 교점을 찍는다.

4 세개의 점을 선분으로 이어서 삼각형을 그리면 정삼각형이 된다.

 

 

지오지브라 파일도 올려 봅니다.


정삼각형.ggb

 

사실 정삼각형은 그냥 3변의 길이가 같은 세 각의 크기가 60도로 같은 삼각형이다 라고 알고 있으면 되긴 하지만 아래 그림의 EFGH로 구성되는 부분의 면적을 구하는 문제 같은 경우 위에 설명한 정삼각형의 작도법을 알고 있다면 적분을 사용하지 않고도 좀 더 쉽게 면적을 구할 수 있습니다.


EFGH면적.ggb

 

 


네이버 지식인 같은 데는 보다 보면 인수분해를 해달라는 질문들이 굉장히 많더군요.

 

아래 포스팅에서 간단하게 wolframalpha 에 대새 소개해 드린적이 있는데요~

 

Wolframalpha를 사용하면 인수분해도 무지 쉽게 할 수 있습니다.

 

그냥 wolframalpha의 검색창에 식만 써주면 되거덩여~

 

x^2+y^2-4xy-x^2y^2-1 라는 식을 인수분해 해 볼까요~

 

wolframalpha의 검색창에 식을 써 주고 엔터를 치면~

 

아래와 같이 Alternate forms 에 인수분해 결과가 나옵니다.

 

무지 간단하죠~ ㅋㅋㅋㅋ

 

X에 대해 푼 해도 나오고~ 3D 형태의 그래프도 나오고 등고선 형태의 Contour plot 도 나오는 군요~

 

개인적으로 이런 툴들 보면 요즘 세상은 참….. 수학 공부하기 좋은 세상이구나 라는 생각이 많이 듭니다.

Geogebra 를 사용하면 사용할수록 정말 편리한 프로그램이구나 라는 생각이 많이 듭니다.

 

현재의 Geogebra 4.2 버전에서는 2D 까지만 지원을 하는데..

 

아래 동영상을 보니 3D 버전도 있더군요. 물론 아직 정식 버전은 아니구 베타 버전입니다.

 








즉 아직 테스트 중인 버전이라는 거죠~ 하지만 지금도 많이들 사용하시는 것 같더군요.

 

다운로드는 아래주소에서 가능 합니다.


http://download.geogebra.org/installers/5.0/?C=M;O=D

 

Windows, Linux, Max 에서 다 사용가능 하고 아래 그림과 같이 portable 버전과 installer 버전이 있습니다.

 

저는 portable 버전을 선호하기에 portable 버전을 다운로드 받았습니다.

 

portable 버전은 다운로드 받은 후에 압축만 풀어 주면 됩니다.

 

압축을 푼 후에 GeoGebra-jogl2.exe 파일을 더블 클릭 하면 아래 그림과 같이 Geogebra 가 실행 됩니다.

 

딱 보면 기존 GeoGebra와 다를바 없게 보이는데 보기 메뉴를 보니 3차원 기하창이 추가되 있더군요.

 

3차원 기하창을 눌러 보니 이렇게 생겼습니다. 멋지네요.

 

현재는 4.9 버전인데.. 테스트 끝나고 완성이 도면 5.0 버전으로 나올 것 같군요.

 

아래 주소는 5.0 버전에 대한 설명이 있는 release note 입니다. 차근 차근 보면서 공부좀 해봐야 겠네요.

 

http://wiki.geogebra.org/en/Release_Notes_GeoGebra_5.0

 


지오지브라에서 극좌표 그래프 그리는 방법에 대해 설명 드리려 합니다.

 

지오지브라에서 극좌표 그리는 방법은 아래 주소글을 참조했습니다.

 

http://web.psjaisd.us/auston.cron/ABCronPortal/GeoGebraMenu/GeogebraFiles/studentConstructions/polarGraphs/constructPolarGraph04.html


위 주소에 있는 예제 함수들 중에 아래 주식의 Rose Curves를 하나 그려 볼까 합니다.

r(x) = a sin(b x), vary a and b by using a sliders, x is angle

 

지오지브라는 직교 좌표계이니깐, 극좌표를 직교좌표계로 변환하는 방법만 알면 비교적 쉽게 그릴수가 있더군요.

  

r(x) 를 그리는 방법은 다음과 같습니다.


1. 변수 a, b 를 슬라이더로 정의 한다.


2. 극좌표계 식 r(x)를 정의 한다. r(x) 그래프를 보이지 않게 한다.


3. 극좌표계를 직교 좌표계로 변환하기 위해 x 축은 cos(t)*r(t), y 축은 sin(t)*r(t) 로 하여 curve 를 그려준다. 여기서 변수 t 는 각도를 의미함


 

Curve[r(t)*cos(t), r(t)*sin(t), t, 0, 16 pi]


위 수식에서 세번째 인자 t 는 변화하는 각도를 의미 0, 16 pi 는 각도가 16 pi 까지 변화하는 것을 의미

 

그려 보니 다음과 같은 결과가 나오더군요.


 

그럼 한번 그려볼까요~




  1. dedd 2014.07.19 18:50

    r(x) a'sin(bx)라고 하면 알수없는 명령:r 이라고 뜨는데......

    • 남성 2014.07.19 20:34 신고

      보시다 시피 r(x)= a*sin(b*x) 라고 정의 한겁니다.

  2. dedd 2014.07.20 23:51

    감사합니다~

아래 포스팅에서 간단하게 지오지브라에 대해 소개 드린적이 있는데요.

 

 

2012/08/13 - [유틸] - 오픈소스 수학 프로그램 지오지브라(GeoGebra)



위 포스팅을 하고 시간이 좀 지나서 그런지 그 동안에 많은 부분이 발전한 것 같네요.

 

사용도 굉장히 편리해 진 것 같구요.

 

오늘 네이버 지식인을 보다가 간단하게 지오지브라 관련 답변을 달면서 이런 내용은 많은 학생들이 보고 배웠으면 좋겠다는 생각이 들더군요.

 

그래서 동영상으로도 만들어 봤는데.. 아직 마이크가 구비가 안되서 설명은 못 넣었습니다.

 

뭐 설명은 안 듣더라도 너무 쉬운 내용이라 동영상만 봐도 알 수 있는 내용이라는 생각이 드네요.

 

일단 지오지브라 설치 방법부터 다시 설명 드리는게 좋을 것 같네요.

 

프로그램 다운로드는 아래 주소에서 가능 하구요~

http://www.geogebra.org/cms/ko/download/

 

 

다음 그림과 같이 자신의 OS 에 맞는 설치 파일을 다운로드 받아서 설치하시면 됩니다.

 

저는 윈도우에서 설치를 진행해 봤는데요~ 이상하게 문제가 있어서 아래 주소에서 포터블 버전을 다운로드 받았습니다.


http://www.geogebra.org/cms/ko/portable

 

 

각자 OS 에 맞게 다운로드 한 후에 압축 해제 하고~ GeoGebra.exe 파일을 실행시켜주면 바로 사용 가능합니다.

 

동영상에서는 아래 수식에 대해 교점을 구해 봤는데요~ 클릭 몇 번에 교점이 척척~~ 구해지니… 참 재미있더군요.

 

x2+y2=2

15x2/ 2 + 4xy=16




학생들이 수학 공부하는데~ 많이 이용되었으면 좋겠네요~

 

저희 때는 정말 모눈 종이에 그려보고 했던 것 같은데…ㅋㅋㅋㅋ 참 좋은 세상이네요!!



 


많은 사람들이 네이버나 구글등은 알고 있지만 Wolfram-Alpha 에 대해서는 많이들 모르는 것 같은데요.

 

Wolfram-Alpha 는 매스매티카로 유명한 울프럼 리서치에서 만든 검색 엔진 입니다.

 

Wolfram-Alpha 의 사이트 주소는 아래와 같습니다.

 

http://www.wolframalpha.com/

 

첫 화면은 아래 그림처럼 생겼는데 밑에 있는 조그만 그림들에 마우스를 갔다 대면 화면이 밝게 변하면서 각 컨텐츠에 대해 확인 할 수 있습니다.

 

수학 프로그램을 만든 회사에서 만들었으니~ 일단 수학적인 기능들은 굉장히 돋보이는데요~

 

대충 아무 식이나 한번 넣어보죠~ 저는 sin(x)+cos(x) 라는 식을 넣어봤는데요~

 

뭐 기본적인 그래프부터~ 미분 적분 결과~ 그리고 series expansion 까지 굉장히 다양한 결과들이 나오더군요.

 

제가 학생때는 이렇게 컴퓨터 기술들이 발달하지 않아서 그래프 하나 그려보려면 참 힘들었던 것 같은데~

 

참 편리하더군요. 울 나라 학생들 스트레스 받으면서 공부하는 건 안 스럽지만~

 

그래도 이런 컴퓨터 기술의 발달로 공부하기 그나마 좋아진 환경이라는 점에서는 부럽기도 하더군요.

 

간단하게 인수분해도 한번 해볼까요~

 

인수분해를 하려면 factor 라는 명령어를 넣어줘야 합니다.

 

저는 4x^3+2x^2+3x+4 에 대해 아래 그림처럼 인수분해를 수행해 봤는데~

 

간단하게 인수분해 결과와 그래프까지~ 나오더군요.

 

다음으로~ where am I 같은 간단한 질문형 문장을 넣어보죠~ 내가 지금 어디 있나… 라고 물어보면

 

아래 그림처럼 제 IP 가 나오면서 서울~ 이라고 나오더군요.

 

참 신기하더라구요~

 

다음과 같이 s 로 시작하고~ th 로 끝나는 단어를 검색 할 수도 있습니다. 48개의 단어가 있다고 나오는군요~

 

수학을 공부하는 학생들은 이런 검색엔진도 있다는 거 꼭 알았으면 좋겠네요.


TED 에는 정말 유익한 내용들이 많이 있는데요~

 

오늘은 수학과 관려한 TED 몇 편을 소개하려 합니다.

 

수학과 관련한 툴 중에 굉장히 유명한  매쓰메티카는 대부분이 알고 계실 겁니다.

 

이 툴은 스티븐 울프램 박사가 설립한 울프램 연구소에서 만들었는데요~

 

스티븐 울프램 박사의 동생인 콘래드 울프램이 이 연구소의 소장이더군요.

 

형제가 다 수학을 잘 하고 좋아했나 봅니다.

 

아래 TED 는 콘래드 울프램의 TED 강연인데요~  컴퓨터를 이용한 진짜 수학 교육에 대해 얘기를 하더군요. 



매쓰메티카라는 수학 프로그램을 만든 연구소의 소장이라서 이런 얘기를 하겠지~ 하면서도


들어 보면 구구절절이 공감이 가는 내용들입니다. 


사실 우리나라의 수학 교육은 실용적이지는 못한 것 같다는 생각을 많이 했는데요.


종이와 연필을 이용한 계산 방식을 아는것은 당연히 중요하지만 그런 단순 계산의 트레이닝을 너무나 오래 하는 경향이 있는것 같습니다.


예전에 TV 방송에서 연예인 은지원이 외국으로 이민가서 수학이라도 잘 하려고 계산 연습 많이 했는데 거기 애들은 시험때 계산기 들고 들어왔다고 했던 에피소드가 생각이 나더군요. 


아래 페이지가 바로 콘래드 울프램이 말하는 문제에 대해 설명하는 장면 인데요. 심히 공감이 가더군요. 





올바른 문제 제기를 하고  현실의 문제를 수학화하고 수학적인 형태로부터 현실세계에 적용해서 증명 해보는 과정이 단순 계산이란 과정보다 훨씬더 중요한데~ 정작 제가 받았던 수학 교육은 3번째 과정인 계산에 굉장히 많이 치중했던 것 같네요. 


수학 == 계산 이라는 수학 교육 철학 속에서 학생들은 수학이 그저 지겨울 수밖에 없습니다. 수학 >> 계산 즉 단순 계산 보다 훨씬더 광범위한 분야이며 컴퓨터가 훨씬 더 잘하는 단순 계산에 수학 교육의 대부분을 소비하는건 옳지 않다는 거죠.


요즘은 컴퓨터의 보급율이 계속 증가하고 있어서 점점더 컴퓨터를 이용해서 수학을 학습하기에 좋은 시대가 되고 있습니다.


훌륭한 오픈소스 소프트웨어 들도 많이 있구요~ 



2012/08/13 - [유틸] - 오픈소스 수학 프로그램 지오지브라(GeoGebra)



솔직히 수학 교육을 위해서 컴퓨터를 장만하는데 비싼 컴퓨터가 필요 없거덩여. 


지난포스팅에 소개햇던 OPEN PC 와 같은 정도만 되도 아이들의 수학교육에는 부족함이 없을듯 합니다. 


2012/08/05 - [잡담,잡다] - Open PC 반갑습니다.



다음으로 소개해 드릴 TED는 굉장히 짧은 내용인데요. Arthur Benjamin 교수의 수학교육 변화를 위한 공식 이라는 TED 입니다. 



내용은 현재 우리의 수학 교육은 대수학이나 미적분학에 너무 편중 되었는데~ 사실 현실에서는 확률과 통계가 더 필요하며 아날로그에서 디지털로 수학교육이 변화해야 할 때라고 합니다. 


생각해 보니... 고딩때 들었던 수학 2 과목에서는 확률과 관련한 내용이 굉장히 적었던 기억이 있습니다. 


정규 분포에 대한 내용 정도 들은것 같네요. 기억이 가물 가물~


그런데 사실 우리 세계를 살펴 보면 대부분이 디지털입니다. 


지금 이 글을 쓰고 있는 컴퓨터부터도 디지털이고. 핸드폰은 말 할것도 없고요.


확률이나 통계는 그 쓰임이 계속해서 증가 할 것이라고 생각이 됩니다. 경제, 게임, 공학, 바이오 등등등 확률이 안 쓰이는 곳이 별로 없군요.


짧은 내용이지만 개인적으로 많이 공감가는 내용이었습니다. 


학생들 중에는 수학에 대해 굉장히 힘들어하는 경우가 많은데요~


어떻게 보면 수학이 굉장히 추상적이어서 그럴지도 모른다는 생각을 많이 합니다. 


수학 기호들만 봐서는 이게 무슨 의미인지 쉽게 상상이 안되거든요.


하지만 그래프를 그려보고 계산 몇번 하다보면 어떤 과목 보다도 헷갈리지 않고 재미있는게 수학이라는 과목입니다. 


제가 어렸을때는 컴퓨터가 그리 보편적이지 않아서 수학 프로그램을 이용한 교육 같은건 생각도 안해봤는데~ 


요즘은 컴퓨터가 워낙 좋아지고 발달해서 수학 프로그램을 이용하면 학생들이 좀더 쉽게 수학을 익힐수 있지 않을까 하는 생각을 많이 합니다. 


수학 관련한 프로그램들은 많지만~ 


그 중에서 오늘 소개하는 지오지브라는 교육용으로 사용하기에도 굉장히 편리하다는 생각이 듭니다. 


프로그램은 아래 주소에서 다운로드 가능합니다. 


http://www.geogebra.org/cms/ko/download



초등학생을 위한 지오지브라 버전인 지오지브라프림도 있으니깐 초등학생 분들이나 관련 교육자 분들은 사용해 보시면 좋을것 같네요~ 


webstart 를 클릭하면 지오지브라가 다운로드 됩니다. 


프로그램은 이렇게 매우 심플하게 생겼습니다. 그런데 생각보다 매우 파워풀 하더군요. 




기초적인 사용법에 대한 동영상이 다음과 같이 유투브에 있더군요. 





위 동영상은 y=mx+b 라는 일차 방정식을 그리는 예제인데요~ 


굉장히 직관적이고 잼나더군요. 


저도 비슷하게 한번 해봤습니다. 





금방 쉽게 따라하실수 있고~ 재미있기도 하네요~ 


이런 툴들이 많이 나왔으면 좋겠네요. 



오늘 소개해 드릴 소프트웨어는 Maxima 입니다. Maxima 는 심볼릭 계산을 수행하는 프로그램 입니다.

심볼릭 계산을 하는 소프트웨어의 대부분이 상업적인 프로그램들인데~~ Maxima 는 프로그램은 GNU v2 라이선스 하에 배포 되는 오픈 소스 프로그램 입니다.

Mathmatica , Maple, MATLAB 의 symbolic math toolbox 등에 비하여 기능상 약간 떨어질지 몰라도 제가 하는 수학의 범위는 대부분 커버를 하더군요.

 

리눅스, 윈도우, 맥OS 에 설치가 가능한 cross – platform 유틸입니다.

 

다운로드는 아래 주소에서 가능합니다.

http://sourceforge.net/projects/maxima/files/

 

각 운영체제에 맞는 설치파일을 다운로드 받아서 설치 하시면 되겠습니다.

 

 

저는 현재 글을 쓰는 시점에는 윈도우에서 설치를 해 봤는데, wxMaxima, XMaxima 가 깔리는 군요.

XMaxima 는 단순 text-mode Maxima 이고 아래 그림 처럼 생겼습니다. 뭔가 좀 단순해 보이죠~

 

 

wxMaxima 는 그래픽 적으로 편리하게 구현된 버전입니다. 아래 그림처럼 생겼죠.

 

 

Maxima 사용 매뉴얼은 아래 주소에 있습니다.

http://maxima.sourceforge.net/documentation.html

물론 wxMaxima 프로그램에서 F1 키를 눌러도 매뉴얼이 뜹니다. 물론 영어로 되어 있습니다.

 

영어가 좀 불편하신 분들은 위 매뉴얼 주소에 Minimal Maxima 문서를 한글로 번역된 문서가 있긴 하더군요. 위 매뉴얼 주소에서 아래 그림과 같은 부분을 찾아 보시기 바랍니다.

한글 번역된 내용은 정말 맛만 보는데 쓰일 수 있을 정도이므로, 시간을 가지고 영어 매뉴얼을 보면서 공부하시는 게 좋을 것 같습니다.

 

프로그램의 설정 창 등을 보면 언어 설정 할 수 있는 부분이 있는데 ~~ 중국어 일본어 등은 있는데 한국어는 없군요. 요즘 오픈 소스 프로그램에 대한 관심이 높아지고 있긴 한데 이런 한글화 부분에서 이웃나라들과 비교해 보면 아쉬운 부분이 많습니다.

 

 

어쨌든 저도 Maxima 를 깔았으니깐 간단하게 사용을 해 봤습니다. 저도 Maxima 초보라 Help 보면서 따라 해 본건데요~ 잼나네요~

 

아래 그림의 빨간색 부분은 maxima 사용을 쉽게 도와주기 위한 버튼 들인데요. 메뉴의 maxima >> Panes 에 들어가면 아래 그림처럼 보이게 설정 할 수 있습니다.

 

 

위 그림의 제가 해본 예제에 대한 파일 첨부합니다. 뭐 별거 아니지만 필요하실 수도 있는 분들을 위해~

 

마지막의 그래프는 이렇게 뜨네요~

 

 

조금만 사용해 보고도 정말 홀딱 반해 버렸습니다.

 

중고생뿐만 아니라 이공계 대학생, 회사원 등 수학적인 계산을 요하는 분들이라면 많이 사용했으면 좋겠네요~~

 

마지막으로 이런 훌륭한 프로그램을 만들어서 오픈 소스로 배포해 주신 개발자 분들께~~ 진심으로 감사하단 말씀 드리고 싶네요.

 


  1. 2015.04.28 20:40

    좋은 정보 감사합니다!!

    • 남성 2015.04.29 08:20 신고

      도움되었다니 다행이네요. 방문해 주셔서 감사합니다. ^^

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